[第12集] 二阶非齐次方程

根据之MIT微分方程视频所做的笔记—[12] 二阶非齐次方程

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视频地址:http://open.163.com/special/opencourse/equations.html

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1,二阶非齐次方程

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相伴的齐次方程:

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2,弹簧振动方程

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式子中,x”即加速度a,物体受到的力ma,等于收到的所有外力:弹力-kx,阻尼器-bx’,和直接外力f(t)

3,电路的基尔霍夫定律(环路电压为0)

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物理方程:

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由于电量的微分是电流,所以两边对时间t微分得到二阶非齐次方程:

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如果E(t)不是时间的函数(比如干电池),则方程变为二阶齐次方程,电路进入稳态。如果E(t)是时间的函数(比如交流电),则方程为二阶非齐次方程,电路处于震荡状态。

4,线性非齐次方程Ly=f(x)的解:

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其中yp是Ly=f(x)的特解。

证明一:yp+c1y1+c2y2是Ly的解:

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证明二:所有的解都包含在yp+c1y1+c2y2中。

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假设存在另外的解u(x),可证u依然存在于通解中。

所以解方程步骤:

1,求Ly=0的通解;

2,求Ly=f(x)的特解。

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STM

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