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[第5集] 一阶自治微分方程

根据之MIT微分方程视频所做的笔记—[5] 一阶自治微分方程

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视频地址:http://open.163.com/special/opencourse/equations.html

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这节课的内容:

自治微分方程

微分临界点

自治微分方程

[第5集] 一阶自治微分方程

表示右侧不含有自变量。

[第5集] 一阶自治微分方程

dy/dt=f(y),对于不同的y,y的斜率是不同的。这里y=y0,不是指这个曲线就是y=y0,而是表示y取值是y0,此时的斜率是f(y0)。对于同一个y0,斜率是相同的,但是积分时会有自由常数,所以才是一组积分曲线。

临界点

[第5集] 一阶自治微分方程

f(y)=0的点被称作临界点。临界点时,y=y0是方程的一个解。

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y=y0是方程的解的话,同时它也是一条积分曲线,而积分曲线不能相交。所以y=y0是积分曲线的极限。积分曲线处于y=y0和y=y1之间的区域。根据f(y)与0的大小关系,可以确定积分曲线的走向。

例题(银行存款微分方程)

[第5集] 一阶自治微分方程

简单微分方程y=Ce^(rx).

作弊的出纳(偷利息)

[第5集] 一阶自治微分方程

匀速盗用,直接从利息中扣除。

临界点分析(利息公式)

[第5集] 一阶自治微分方程

1,f(y)=0时的y值是临界点,y0=w/r.即此时dy/dt=0.

2,dy/dt和y轴上,在y>w/r时,f(y)>0,y递增;y<w/r时,f(y)<0,y递减。

3,y/t轴上,初始点在y0以上的部分,随着t的增大,f(y)越来越大,y增加的速度也越来越大;

y0以下的部分,y递减,f(y)越来越小,y增加的速度也越来越小(减小的速度越来越大)。

临界点分析(人口公式)

[第5集] 一阶自治微分方程

1,积分曲线不会相交,所以各条曲线远离0,趋向于a/b;

2,a/b是稳定状态(稳定解),而0是不稳定状态(非稳定解)。

3,a/b是人口上限,0是人口下线(初始为0)。

临界点分析(收割三文鱼)

[第5集] 一阶自治微分方程

1,h表示每次收割三文鱼的量,

2,h>0,相当于把dy/dt向下平移;

3,在曲线与t轴相切时,得到只有一个临界点,这时候如果初值在临界位置以上,可以得到最大的hm,且可以保证y不会趋向于0。这个值hm就是三文鱼的最大收割值,生产上的重要应用。

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