[第30集] 第四次考试复习

根据网易公开课之MIT单变量微积分视频所做的笔记—[第30集] 第四次考试复习。

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视频地址：http://v.163.com/special/sp/singlevariablecalculus.html

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这节课的内容：

半径与弧长的关系问题

角动量

面积的基本公式

这是面积的微分公式，求不规则图像的面积时需要用到。

半径是角度的函数时

这时候是不规则的图像。

面积积分公式

这是求面积的基本公式，只有r是θ的函数时才有效果。

例题1

极坐标跟普通的xy平面坐标还不是简单的换元关系，直观的相信，一个圆在x轴上平移a，这时候的极坐标方程竟然是 r = 2acosθ,要不是列出等式来，是很难想象出来的。

注意 θ的取值范围，只要是使 r 在最小和最大之间变化，无论怎么积分都可以得到正确值，但是取值范围大于[0，π]这个区间，比如到了2π，积分会得到两倍的面积，相当于绕圆圈地圈了两遍。因为积分方程是 r²，积分结果总是正的，即使 r 为负数的时候。

例题2（四叶玫瑰）

极坐标的方程在xy坐标系下画出来，都挺好玩的。

例题3

明确一个问题，把极坐标画在直角坐标系时，θ表示轴的角度，而 r 表示从圆心到图像上 θ对应的那一点的距离。所以当 1+2cosθ=0时，此时r 无穷大，对应在图像上就是：在这个方向上，这个点距离圆心无穷远，所以就变成了曲线无限靠近 θ=±2/3π这个射线，但是只能是趋近。

化为普通的代数方程就可以明显看出来是一个双曲线了。化简时利用了基本公式：x=rcosθ，y=rsinθ。

公式 r=1/(1+2cosθ)，当分母可以为0时，是双曲线；不能为0时，是椭圆；当只有一个θ使分母为0时，是抛物线。

跟面积的联系

r=0是双曲线的焦点。这里直接用了开普勒定律，dA/dt是个常数，没有证明，后面的一系列都是由这退出来的。网上查了开普勒定律的证明方法，结果用的是角动量守恒，无语！！！

由天线运动扯到角动量守恒，再联想到滑冰运动员的角动量问题，牛！