[第31集] 线性变换及对应矩阵

根据网易公开课之MIT线性代数视频所做的笔记—[第31集] 线性变换及对应矩阵。

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    视频地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html

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这节课的内容：

线性变换

线性变换应该保证这两种运算的不变性。

例子：

投影就是一种线性变换。

零向量经过线性变换仍然是0.

旋转是一种线性变换。

矩阵右乘变换！最重要的线性变换，代表了一系列的线性变换，每一个不动的矩阵就代表了一种线性变换。

房子经过矩阵A变换。x分量为1，坐标不变；y分量为-1，坐标取反。矩阵乘法的具体应用，理解线性变换的方法就是确定它背后的矩阵，则就是线性变换的本质。

线性变换T，它的输入时三维向量，输出是二维向量。三维空间的向量映射至二维空间，即是这种线性变换。v有三个分量，T(v)有两个分量，则要求A是一个2X3矩阵。

线性变换对于一个向量意味着什么？

线性变换对于所有向量的意义：对向量空间中所有线性无关向量的变换可以构成整个投影空间。只要确定线性变换对于基向量的影响，这样可以求出对所有向量的影响。

坐标的意义：

坐标来自于一组基。v的坐标是一组数字，这些数字表示v由多少个基向量组成。如果基改变了，坐标也就随之改变。一般来说，坐标系建立在标准基的基础之上，虽然我们平时意识不到。

回到原变换T，构造矩阵A，用于表示一个线性变换T。令v1,……,vn作为输入向量的基，来自R^n空间；w1,……,wm作为输出向量的基，来自R^m空间。基一旦确定，对应的矩阵也确定了。再引入坐标，每个R^n的输入向量都有具体的坐标。现在一个向量v，通过基把它表示出来，于是得到它的坐标，然后把这些坐标值乘以某个矩阵A，得到输出向量的坐标值，通过输出空间的基表示。这样变换就变成了矩阵的乘法。

例题，投影：

参与变换的向量都在平面上，投影的结果在直线上；通过变换使得平面上的任意向量投影到直线上。这时候，用一组正交基v1，v2代替原来的标准基。这组正交基既是输入空间的基也是输出空间的基。矩阵实现的功能就是输入(c1,c2)输出(c1,0).

具体化：

矩阵使线性变换与坐标无关。A乘以输入坐标可以得到输出坐标，关键是输入空间和输出空间使用了同一组基，两个基向量分别与直线同向和与直线垂直，它们实际上都是投影的特征向量，所以得到的矩阵是一个对角阵。

如何把矩阵与线性变换联系起来？即如何确定矩阵A：

1，给定两组基；

2，确定第一列，对v1进行线性变换，得到输出T(v1)；

3，求第二列，对v2进行变换，得到T(v2)；

4，依次类推，最终确定整个矩阵。

例题，求导数：