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[第29集] 相似矩阵和若尔当形

根据网易公开课之MIT线性代数视频所做的笔记—[第29集] 相似矩阵和若尔当形。

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    视频地址:http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html

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这节课的内容:

相似矩阵的相关定义;

正定矩阵扩展知识。

1,正定矩阵知识扩展

正定矩阵的来源:最小二乘法

大量的物理问题需要用长方形矩阵描述,而最小二乘法的关键在于矩阵A^TA.

如果A正定,B正定,A+B正定吗?

证明:

已知:x^TAx>0, x^TBx>0

两边相加=> x^T(A+B)x>0

因此,A+B也是正定矩阵.

 

A是m by n长方形矩阵,对于 A^TA 必定是方阵,对称阵,证明其为正定矩阵?

[第29集] 相似矩阵和若尔当形

结果为向量长度的平方,非负数,当且仅当为0向量的时候才为0.当矩阵的秩大于0时,即各列线性无关,A就不会是0向量,A^TA正定 。

如果A^TA 正定,最小二乘方程将存在最优解;

A^TA 为正定矩阵,计算时不需要进行“行交换”,也不必担心主元过小或者等于0.

到现在,才“coming close to the end of the heart of linear algebra”!悲伤~~

 

2,相似矩阵

A和B是相似矩阵,表示两个矩阵之间存在一种联系,某个可逆矩阵M使得矩阵B可以表示为另一矩阵A右乘矩阵M以及左乘矩阵M逆。

B = M^(-1)AM

这一组合有何意义?

例题:

假设A具有无关的特征向量,也就是存在特征向量矩阵S。通过特征向量矩阵S和S的逆,可以从A生成一个最为简洁的对角矩阵Λ。

[第29集] 相似矩阵和若尔当形

这就成为矩阵A相似于矩阵Λ。A相似于Λ是因为存在特征矩阵S使等式成立。

回到原来的问题,如果存在特殊的矩阵M,使组合成立,此时B不一定是对角矩阵,但是也称B相似于A。即,任意两个互为相似的矩阵,它们之间都存在一定的关系,存在特殊的矩阵M。而对角阵,是这一类矩阵里面最简洁的一个。

例题:

[第29集] 相似矩阵和若尔当形

不得不说,教授的计算速度太快了!

先是求特征矩阵Λ,两个特征值和为A的主对角线元素的和4,特征值积为A的行列式的值(2*2-1*1=3),所以特征值为3,1;

再验证求得的B的特征值,也是3,1.

相似矩阵具有同样的特征值!!

WHY?

只要特征值相同的矩阵都是相似矩阵。

[第29集] 相似矩阵和若尔当形

令M^(-1)x = y,可以很容易看出λ是B的一个特征值,又因为λ是A的特征值,则A、B特征值相同。但是A、B特征向量不同,B的特征向量等于M的逆乘以矩阵A的特征向量。

 

3,λ1 = λ2

当两个特征值完全相等时,特征向量可能不再是线性无关的,从而造成矩阵可能无法对角化。

这种情况可以分为两类:

[第29集] 相似矩阵和若尔当形

第一种情况只能得到 λ1 I 的结果。

第二种情况称作Jordan form。Jordan form永远不能完全对角化。

Jordan标准型:几乎是对角矩阵,除了主对角线和对角线上方外,其余系数都是零。

[第29集] 相似矩阵和若尔当形

这一类矩阵都相似,但是跟第一种情况永远不会相似,因为对任意M,相乘的结果只有λ1 I。

因此,相似的定义判断需要加上:

特征向量的数目要相等。

例题:

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两个矩阵并不相似,第一个矩阵由3X3分块和1X1分块构成;第二个矩阵由2X2分块和2X2分块构成。这些分块成为Jordan块。

 

Jordan block定义:

[第29集] 相似矩阵和若尔当形

Ji表示i阶的Jordan块,它只有一个重复的特征值。对角线上全是λi下面是0,上面是1,它的对角线上都是同一个数,只有一个特征向量。所以每个Jordan块只有一个特征向量。因为分块不同,Jordan判断两个矩阵并不相似。

Jordan定理:

[第29集] 相似矩阵和若尔当形

每个方阵A都相似于一个Jordan阵J,就是由Jordan块构成的矩阵。特征值位于对角线上,对角线上方还有若干个1。Jordan块的数量就是特征值的数量,因为每一个块对应于一个特征向量。特别的,如果矩阵A的特征值各不相同,则A是一个可对角化的矩阵,这时候Jordan阵就是对角阵Λ。

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